home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ Pro One: Differential Equations / Multimedia Differential Equations.ISO / diff / chapter3.4p < prev    next >
Encoding:
Text File  |  1996-08-13  |  5.5 KB  |  254 lines
  1. à 3.4     Repeated, Real Roots ç ê Characteristic Equation
  2.  
  3. äèèFïd ê general solution ç ê homogeneious, 
  4. èèèèèèèèdifferential equation.
  5.  
  6. â    è The differential equation
  7.  
  8.         y»» - 6y» + 9y = 0
  9.  
  10.     è has ê general solution
  11.  
  12.         C¬eÄ╣ + C½xeÄ╣
  13.  
  14. éS    The lïear, second order, constant coefficient, homogenous
  15.     differential equation
  16.  
  17.         ay»» + by» + cy = 0
  18.  
  19.     has solutions ç ê formèe¡╣èwhere m is a solution ç ê 
  20.     CHARACTERISTIC EQUATION
  21.  
  22.         amì + bm + c = 0
  23.  
  24.     When ê DISCRIMINANT, bì - 4ac, is ZER0 ê quadratic 
  25.     equation has one, repeated real root.èFrom ê quadratic
  26.     formula ê value ç this repeated root is
  27.         m = -b/2a
  28.     Sïce two ïdependent solutions ç ê differential equation
  29.     are needed, ê GENERAL SOLUTION is ç ê form
  30.  
  31.         y = C¬e¡╣ + C½xe¡╣
  32. èèè
  33. èèèèThis can be shown by assumïg ê second solution has ê form
  34. èèèèv(x)e¡╣ å solvïg for v(x) by takïg derivatives å substitu-
  35. èèèèïg back ï ê origïal differential equation.èIt can be
  36. èèèèseen that v(x) = x.è
  37.  
  38.  1    y»»è+è4y»è+è4yè=è0
  39.  
  40.  
  41.     A)    C¬eú╣»ì + C½xeú╣»ì     B)    C¬eúì╣ + C½xeúì╣
  42.  
  43.     C)    C¬e╣»ì + C½xe╣»ì    D)    C¬eì╣ + C½xeì╣
  44.  
  45. ü    Forè        
  46.         y»» + 4y» + 4y = 0,
  47.     ê characteristic equation is
  48.          mì + 4m + 4 = 0
  49.     This facërs ïë
  50.         (m + 2)ì = 0
  51.     The solutions are
  52.         m = -2, -2
  53.     With repeated, real roots, ê general solution is
  54.         C¬eúì╣ + C½xeúì╣
  55.  
  56. Ç    B
  57.  
  58.  2    y»» - 6y» + 9y = 0
  59.  
  60.  
  61.     A)    C¬eúÄ╣ + C½xeúÄ╣    B)    C¬eú╣»Ä + C½xeú╣»Ä
  62.  
  63.     C)    C¬eÄ╣ + C½xeÄ╣        D)    C¬eú╣»Ä + C½xe╣»Ä
  64.  
  65. ü    Forè        
  66.         y»» - 6y» + 9y = 0,
  67.     ê characteristic equation is
  68.          mì - 6m + 9 = 0
  69.     This facërs ïë
  70.         (m - 3)ì = 0
  71.     The solutions are
  72.         m = 3, 3
  73.     With repeated, real roots, ê general solution is
  74.         C¬eÄ╣ + C½xeÄ╣
  75.  
  76. Ç    C
  77.  
  78.  3    y»» + 10y» + 25yè=è0
  79.  
  80.  
  81.     A)    C¬eúÉ╣ + C½xeúÉ╣èèB)    C¬eú╣»É + C½xeú╣»É
  82.  
  83.     C)    C¬eÉ╣ + C½xeÉ╣èèèD)    C¬e╣»É + C½xe╣»É
  84.  
  85. ü    Forè        
  86.         y»» + 10y» + 25y = 0,
  87.     ê characteristic equation is
  88.          mì + 10m + 25 = 0
  89.     This facërs ïë
  90.         (m + 5)ì = 0
  91.     The solutions are
  92.         m = -5, -5
  93.     With repeated, real roots, ê general solution is
  94.         C¬eúÉ╣ + C½xeúÉ╣
  95.  
  96. Ç    A
  97.  
  98.  4    4y»» + 4y» + y =è0
  99.  
  100.  
  101.     A)    C¬eú╣»ì + C½xeú╣»ì     B)    C¬eúì╣ + C½xeúì╣
  102.  
  103.     C)    C¬e╣»ì + C½xe╣»ì    D)    C¬eì╣ + C½xeì╣
  104.     
  105. ü    Forè        
  106.         4y»» + 4y» + y = 0,
  107.     ê characteristic equation is
  108.          4mì + 4m + 1 = 0
  109.     This facërs ïë
  110.         (2m + 1)ì = 0
  111.     The solutions are
  112.         m = -1/2, -1/2
  113.     With repeated, real roots, ê general solution is
  114.         C¬eú╣»ì + C½xeú╣»ì
  115.  
  116. Ç    A
  117.  
  118.  5    16y»» - 8y» + y = 0
  119.  
  120.  
  121.     A)    C¬eú╣»Å + C½xeú╣»Å     B)    C¬eúÅ╣ + C½xeúÅ╣
  122.  
  123.     C)    C¬e╣»Å + C½xe╣»Å    D)    C¬eÅ╣ + C½xeÅ╣
  124.     
  125. ü    Forè        
  126.         16y»» - 8y» + y = 0,
  127.     ê characteristic equation is
  128.          16mì - 8m + 1 = 0
  129.     This facërs ïë
  130.         (4m - 1)ì = 0
  131.     The solutions are
  132.         m = -1/4, -1/4
  133.     With repeated, real roots, ê general solution is
  134.         C¬eú╣»Å + C½xeú╣»Å
  135.  
  136. Ç    A
  137.     
  138. äè Solve ê followïg ïitial value problem.
  139.  
  140. â    èFor ê ïitial value problem
  141.         y»» + 2y» + y = 0 ;èy(0) = 3 ;èy»(0) = -2
  142.     The general solution isèè y = C¬eú╣ + C½xeú╣
  143.     Substitutïg x = 0 ïë ê solution å its derivative yields
  144.         C¬ = 3 ; C½ = 1
  145.     Thus ê solution ë ê ïitial value problem is
  146.         y = 3eú╣ + xeú╣
  147.  
  148. éS    èTo solve an Initial Value Problem 
  149.         ay»» + by» + cy = 0è
  150.         y(x╠) = y╠ ; y»(x╠) = y»╠    
  151.  
  152.     has two stages.
  153.     1)    Fïd a general solution ç ê differential equation.
  154.         As this is a second order, differential equation,
  155.         ê general solution will have TWO ARBITRARY CONSTANTS
  156.     2)    Substitute ê INITIAL VALUE ç ê ïdependent
  157.         variable ïë ê general solution å its deriviative
  158.         å set êm equal ë ê TWO INITIAL CONDITIONS.èThis
  159.         produces two lïear equations ï two unknowns (ê
  160.         arbitrary constants).èSolvïg this system yields ê
  161.         value ç ê constants å ê solution ç ê ïitial
  162.         value problem.
  163.  
  164.  6    y»» - 4y» + 4y = 0èè
  165.         y(0) = -2è;èy»(0) = 4
  166.  
  167.  
  168.     A)    2eì╣ + 8xeì╣        B)    2eì╣ - 8xeì╣    
  169.  
  170.     C)    -2eì╣ + 8xeì╣        D)    -2eì╣ - 8xeì╣    
  171.  
  172. üèè For ê ïitial value problem
  173.         y»» - 4y» + 4y = 0 ;èy(0) = -2 ;èy»(0) = 4
  174.     The characteristic equation is
  175.         mì - 4m + 4 = 0
  176.     This facërs ë
  177.         (m - 2)ì = 0
  178.     The repeated, real, solutions are
  179.         m = 2, 2
  180.     The general solution is
  181.         y = C¬eì╣ + C½xeì╣
  182.     Substitutïg x = 0 ïë ê solution å its derivative yields
  183.         y(0)è=èC¬èèè = -2
  184.         y»(0) =è2C¬ + C½ =è4
  185.     Solvïg this system yields
  186.         C¬ = -2 ; C½ = 8
  187.     Thus ê solution ë ê ïitial value problem is
  188.         y = -2eì╣ + 8xeì╣
  189.  
  190. Ç    C
  191.  
  192.  7    9y»» + 6y» + y = 0è 
  193.         y(0) = 9è;èy»(0) = 7
  194.  
  195.  
  196.     A)è    9eú╣»Ä + 4xeú╣»Äèè B)èè -9e╣»Ä + 4xe╣»Ä
  197.  
  198.     C)è    9e╣»Ä - 4xe╣»Ä    èè D)èè -9e╣»Ä - 4e╣»Ä
  199.  
  200. üèè For ê ïitial value problem
  201.         9y»» + 6y» + y = 0 ;èy(0) = 9 ;èy»(0) = 1
  202.     The characteristic equation is
  203.         9mì + 6m + 1 = 0
  204.     This facërs ë
  205.         (3m + 1)ì = 0
  206.     The repeated, real, solutions are
  207.         m = -1/3, -1/3
  208.     The general solution is
  209.         y = C¬eú╣»Ä + C½xeú╣»Ä
  210.     Substitutïg x = 0 ïë ê solution å its derivative yields
  211.         y(0)è=è C¬èèèè= 9
  212.         y»(0) =è-C¬/3 + C½ =è1
  213.     Solvïg this system yields
  214.         C¬ = 9 ; C½ = 4
  215.     Thus ê solution ë ê ïitial value problem is
  216.         y = 9eú╣»Ä + 4xeú╣»Ä
  217.  
  218. Ç    A
  219.  
  220.  8    y»» - 12y» + 36 = 0èè
  221.         y(1) = 4 ;èy»(2) = 0
  222.  
  223.  
  224.     A)è28eúæeæ╣ + 24eúæeæ╣        B)è-28eúæeæ╣ + 24eúæxeæ╣
  225.  
  226.     C)è28eúæeæ╣ - 24eúæeæ╣        D)è-28eúæeæ╣ - 24eúæeæ╣
  227.  
  228. üèè For ê ïitial value problem
  229.         y»» - 12» + 36y = 0è 
  230.         y(1) = -4 ;èy»(1) = 0
  231.     The characteristic equation is
  232.         mì - 12m + 36 = 0
  233.     This facërs ë
  234.         (m - 6)ì = 0
  235.     The repeated, real, solutions are
  236.         m = 6, 6
  237.     The general solution is
  238.         y = C¬eæ╣ + C½xeæ╣
  239.     Substitutïg x = 1 ïë ê solution å its derivative yields
  240.         y(1)è=è C¬eæ +èC½eæ = -4
  241.         y»(1) =è6C¬eæ + 7C½eæ =è0
  242.     Solvïg this system yields
  243.         C¬ = -28eúæ ; C½ = 24eúæ
  244.     Thus ê solution ë ê ïitial value problem is
  245.         y = -28eúæeæ╣ + 24eúæxeæ╣
  246.  
  247. Ç    B
  248.  
  249.  
  250.  
  251.  
  252.  
  253.  
  254.